基于遗传算法的摆线针轮行星减速器优化设计
摘要：为了解决摆线针轮行星减速器的传动效率低，结构不够紧凑的问题，通过推导其传动效率的公式，并对设计变量和约束条件进行研究，建立了以体积最小、效率最高为目标函数的优化设计数学模型。采用遗传算法，运用ＭＡＴＬＡＢ软件编制遗传优化程序，调用遗传工具箱进行优化。优化设计结果与传统的设计相比，体积减小16.6，效率增加2.06％，优化效果显著，从而为摆线针轮行星减速器优化设计提供一定的理论和方法。
减速器是机械传动中的核心部件，渐开线减速器具有广泛的应用，但有些场合却不能满足使用要求。摆线针轮行星减速器具有体积小、质量轻、传动比范围大、寿命长、精度保持稳定、传动平稳等一系列的优点而得到了广泛的应用。但摆线针轮行星减速器的传动效率却比渐开线行星减速器的传动效率低，因此研究摆线针轮行星减速器的参数设计，优化体积和传动效率具有重要意义。
由于摆线针轮行星减速器涉及的参数比较多，关系比较复杂，影响的因素也较多，这就给摆线针轮行星减速器的优化设计带来了一定的困难。从现在所发表的摆线针轮行星减速器的优化设计论文［１］［２］１４２［３］来看尚存一定的不足，比如目标函数单一，不能有效提高摆线针轮行星减速器的传动效率；各约束条件单位不统一，给优化设计的实现造成了一定的难度。因此全面和深入地研究摆线针轮行星减速器的优化设计问题，对摆线针轮行星减速器技术发展有一定的实用意义。本文中我们推导出摆线针行星减速器传动效率的公式，以体积最小和效率最高作为目标函数，利用遗传算法对摆线针轮行星减速器进行多目标优化设计。
１ 摆线针轮减速器优化设计数学模型
１．１ 设计变量
摆线针轮传动结构如图１所示。现研究一级摆线针轮行星减速器优化问题，取摆线针轮行星减速器的针轮分布圆直径ＤＺ；针齿销直径ｄｚ′；摆线轮宽度Ｂ；短幅系数Ｋ１；摆线轮内孔直径Ｄ１；柱销直径ｄｓ′作为设计变量，即
１．２ 目标函数
（１）本文以在功率和传动比一定条件下，并选定输出机构销轴数Ｚｓ，选择减速器体积最小为目标函 数［２］１４２，即
ｍｉｎｆ１（ｘ）＝π４（ＤＺ＋ｄＺ′＋２Δ１）２（２Ｂ＋δ） （２）
式中，Δ１为针齿套壁厚，一般取Δ１＝２～１０ｍｍ；δ为摆线轮之间的间隔，δ＝ｂ－Ｂ，ｂ为转臂轴承宽度。
（２）以摆线针轮行星减速器的传动效率为另一个目标函数。
当针轮固定时，转臂输入时（针轮输出时，转臂输入时类似），摆线针轮行星减速器的传动效率η 可近似用下式计算［４］３３０。
η＝ηｘｃηＢηＷηＢ′２ （３）
式中，ηｘｃ为当针轮固定，减速部分的啮合效率，ηｘｃ＝１－０．０４πＺｃＫ１（１－ｄＺ′ＤＺ）１＋０．０４πＫ１（１－ｄＺ′ＤＺ）；ηＢ为转臂轴承的效率，其概略值为，ηＢ＝０．９９～０．９９５；ηＷ为输出机构的效率，ηＷ ＝１－ ０．０８ＤＺＫ１ｄｓ′π［（ＤＺ－ｄｚ′－２Δ１－Ｋ１ＤＺ／Ｚｂ）＋Ｄ１］（ｄ′ｓ＋２Δ２）；ηＢ′为输入或输出轴上的滚动轴承的啮合效率，其概略值为ηＢ′＝０．９９～０．９９９。
由文献［４］３２４－３３０经整理后，其效率计算式为
考虑到η∈（０～１），将效率最大值转换成最小值，则效率最大的目标函数是
式中，Δ２为柱销套壁厚，一般取Δ２＝２．５～５ｍｍ；Ｚｂ为针轮齿数，Ｚｂ＝ｉ＋１；Ｚｃ为摆线轮齿数Ｚｃ＝ｉ。
１．３ 约束条件的建立
（１）摆线轮齿廓不根切条件的约束条件
式中，Ｄｓ为柱销孔中心分布圆直径，Ｄｓ＝ｄｆｃ＋Ｄ１２；ｄｆｃ为摆线轮齿根圆直径，ｄｆｃ＝ＤＺ－（ｄｚ′＋２Δ１）－２ Ｋ１ＲＺ／Ｚｂ，所以Ｄｓ＝［ＤＺ－（ｄｚ′＋２Δ１）－Ｋ１ＤＺ／Ｚｂ＋Ｄ１］／２；ｄｓｋ为销轴孔直径，ｄｓｋ＝ｄｓ＋２Ａ，ｄｓ为销轴套外径，ｄｓ＝ｄｓ′＋２Δ２，Ａ 为偏心距Ａ ＝Ｋ１ＤＺ／２Ｚｂ，所以ｄｓｋ＝ｄｓ′＋２Δ２＋Ｋ１ＤＺ／Ｚｂ；Δ′为销轴孔与摆线轮内孔之间所留的一定厚度，Δ′＝０．０３ＤＺ。
所以推得
（４）摆线轮与针齿的接触强度条件
由文献［５］７４－８２推导整理得
式中，ＭＶ为输出轴的阻力矩，ＭＶ ＝９７ ３６０ＺｃＮＨｎＨ，ＮＨ为输入功率（ｋＷ）；ｎＨ为主轴转速（ｒ／ｍｉｎ）；Ｙ２ｍａｘ为最大接触应力处的位置系数（由文［５］７７表１０查取）；［σｊ］为许用接触应力（ＭＰａ）。得
（５）针齿销的弯曲强度条件
对于双支点针齿销的弯曲应力，由文献［５］８２－８５推导整理得
故约束条件为
式中，［σＷ ］为针齿销许用弯曲应力（ＭＰａ）；δ′为摆线轮于针齿壳侧面见的间隙（ｍｍ），一般取δ′＝４ｍｍ；δ为摆线轮间隔环的厚度（ｍｍ），δ＝ｂ－Ｂ，ｂ为轴承的宽度；Δ为针齿壳侧面的壁厚（ｍｍ），一般为Ｂ≥Δ≥ｄＺ′。
（６）柱销的弯曲强度限制条件为
Ｗ 机构中的柱销所受的最大弯曲应力由文献［５］８５－８７推导得
（８）短幅系数Ｋ 应在０．４５～０．８范围选取，即
ｇ１０（Ｘ）＝０．４５－Ｋ≤０ （２１）
ｇ１１（Ｘ）＝Ｋ－０．８≤０ （２２）
（９）摆线轮壁厚的约束条件［４］３１８
摆线轮的厚度一般为Ｂ＝（０．０５～０．１）ＤＺ，故
ｇ１２（Ｘ）＝０．０５ＤＺ－Ｂ≤０ （２３）
ｇ１３（Ｘ）＝Ｂ－０．１ＤＺ≤０ （２４）
综上所述，摆线针轮减速器的多目标优化设计数学模型可表示为
２ 遗传优化
由于遗传优化具有鲁棒性好、全局寻优的特点［６］，为了避免陷入局部最优解，本文采用遗传算法对摆线针轮行星减速器进行多目标优化设计。
２．１ 求解多目标优化问题的遗传算法
遗传优化中为了综合考虑各分目标函数在相对重要程度方面的差异和量纲上的差异，使各个分目标函数能均匀一致地趋向于各自的最优解，采用加权法［７］２６。其目标函数表示为
Ｆ（ｘ）＝ｗ１ｆ１（ｘ）＋ｗ２ｆ２（ｘ） （２６）
综上所述，摆线针轮行星传动是多目标函数的优化问题。由于体积和效率两目标函数的量纲不同，值的大小相差很大，构造统一目标函数时难以充分反映各子目标函数的重要程度，因此先将体积和效率的目标函数作无量纲处理［８］。由于在摆线针轮行星减速器中体积和效率具有同等的地位，所以我们将各单目标优化值的倒数取作权重系数。
ωｉ＝１／ｆｉ＊（ｘ）ｆｉ＊（ｘ）＝ｍｉｎｆｉ（ｘ） （２７）
式中，ωｉ是作了无量纲处理后的第ｉ个子目标函数的 权重。
经过这样的处理后，使各子目标函数的量纲得到了统一，在同一量纲的基础上再对各子目标函数赋予相应的权数，最后就将多目标优化转化为了单目标优化。按照此方法，评价函数不仅不会受到各分目标函数值相对大小的影响，还能充分反映出各单目标函数值偏离各自最优值的程度。
２．２ 遗传优化算法的实现
本文采用ＭＡＴＬＡＢ 语言编制遗传算法程序［７］２６［９］，利用ＭＡＴＬＡＢ７．０中的遗传算法工具箱中遗传优化函数ｇａ对摆线针轮行星减速器进行遗传优化。先求得ｆ１（ｘ）、ｆ２（ｘ）分别为单目标函数时的最小值，然后再求多目标的最小值Ｆ（ｘ）。
３ 优化实例及结果分析
３．１ 实例
以某公司生产的Ｂ１２型减速机为设计实例，减速机的输入额定功率Ｐ１＝１１ｋＷ，输入转数ｎ１＝１４４０ｒ／ｍｉｎ，传动比ｉ＝２９，输出机构环形槽数Ｚｓ＝１０，摆线轮和针齿的材料均采用ＧＣｒ１５轴承钢，ＨＲＣ５８～６２，许用接触应力［σｊ］＝１ １００Ｍａ，许用弯曲应力［σＷ ］＝２００ＭＰａ。
３．２ 优化求解
采用ＭＡＴＬＡＢ 遗传工具箱进行遗传优化，具体步骤如下：
①编写以体积最小为单目标函数的Ｍ文件，通过调用遗传优化函数ｇａ，求得最小体积为２ ０４４ １８１；②编写以效率最高为单目标函数的Ｍ文件，通过调用遗传优化函数ｇａ，求得最高效率为９５．３６％；③编写以体积最小和效率最高为多目标函数的Ｍ 文件，如图２所示，其中体积的权重为１／２ ０４４ １８１，效率的权重为１／ （１－０．９５３ ６）；④调用遗传算法主函数ｇａ．ｍ。
计算结果表明：采用遗传算法优化设计要优于常规设计方法。在保证主要传动元件设计要求的同时，体积减小１６．６％，效率增加２．０６％ 。所以，利用遗传算对摆线针轮行星减速器进行优化设计效果是显著的。
４ 结论
分析影响摆线针轮行星减速器的主要参数，建立以体积最小和效率最高为优化设计的目标函数，并系统研究了优化的约束函数。用ＭＡＴＬＡＢ语言编制了遗传算法程序，运用ＭＡＴＬＡＢ遗传工具箱对其进行遗传优化设计，在满足强度条件的前提下，获得比传统方法更好的结果，使其结构更紧凑，传动效率更高。可为摆线针轮行星减速器设计提供理论支撑。
